Рулетка заглушает зал, но шум не способен скрыть фундаментальный закон: капитал, размещённый хаотично, покидает карман быстрее, чем вера в очередную горячую серию. Я держу в руках блокнот с формулой Джона Келли — лаконичной как телеграмма фронта: f* = (p·b – q)/b. Здесь p — вероятность выигрыша, q — вероятность проигрыша, b — коэффициент выплаты. Цель — максимизировать логарифм капитала, а не краткосрочный блеск удачи.
Границы жадности
При полном соответствии формуле ставка f* размещается в долях капитала. Она оказывается низкой при марже казино и весомой при ощутимом перевесе. Уже отсюда вырисовывается парадокс: при сверхвысоком ожидании оптимальная доля приближается к ста процентам, однако любой промах аннигилирует баланс. Чтобы снизить хвостовой риск практикуется дробный Келли — половина или четверть оптимума, известная как prudent gambler’s rule.
Келли исходит из эргодичности: среднее по времени совпадает со средним по множеству сценариев. Проще говоря, игрок переживает серию подходов к столу, а формула упорядочивает рост капитала по экспоненте. Сравнивая её с линейной стратегией flat-bet, видно, что log-оптимизация выступает антидотом к «волатильному дракону» (volatility drag — потеря роста при колебаниях).
Роль дисперсии
Дисперсия приводит к временному «проседанию» (drawdown). Математика здесь строгая: вероятность опуститься ниже исходного уровня равна qⁿ, где n — количество ставок при f*, при условии независимости испытаний. Люди же ощущают боль убытка сильнее радости прибыли — феномен, описанный Кануэманом как loss aversion. В результате психологический предел рискаискового долевого процента нередко ниже математической планки.
Симуляции Монте-Карло демонстрируют: даже при систематическом ожидании +5 % на ставку оптимальное распределение f*≈0,1. Половинный Келли уменьшает геометрический рост c 4 % до 3 % за серию в тысячу раундов, зато снижает вероятность просадки на 30 %. Финансовая термодинамика тут напоминает принцип Карно: лишний градус жара порождает трату на энтропию.
Практические нюансы
В реальном казино параметры p и b редко известны с инженерной точностью. Игрок, оценивший перевес через счёт карт, через арбитражную вилку или через моделирование покерных раздач, опирается на статистические выборки. Тогда применяют «анерин» (от англ. adjusted net win) — корректировка ожидаемой прибыли с учётом доверительного интервала. Формула превращается в f_adj = ((p–zσ)·b – (1–p+zσ))/b, где σ — стандартная ошибка, z — квантиль распределения.
Отдельного внимания заслуживает влияние комиссий, ставок минимального размера и лимитов. Ограничение таблицы ведёт к феномену «тетриса ставок», когда дискретные фишки не дают вложить оптимальную долю. Здесь спасает «усечённый Келли», в котором значение f* округляется вниз до ближайшей ставки. Такой шаг снижает эффективность на десятые доли процента, однако избавляет от систематической переплаты.
Kelly criterion давно вышел за пределы грааль-зала: квантовые фонды Renaissance и Two Sigma включают его в res overlay. Для азартных игр вывод однозначен: ставка, соразмерная информационному перевесу, удерживает капитал на плаву дольше борьбы с дисперсией. Как заметил Джон Келли, «mathematics is a subtle friend, ignore it, and friendship dissolves».